User:Mitchtorres
Calulo Diferencial Conceptos
Clasificación de los Números
A. INTRODUCCIÓN
Los números se clasifican en cinco tipos principales: números naturales «N», números enteros «Z», números racionales «Q», números reales «R» (incluyen a los irracionales) y números complejos «C».
En esta clasificación, cada tipo de número es subconjunto de otro mayor, empezando por los números naturales como grupo de números más simples hasta llegar a la clasificación de números complejos «C», que sería el conjunto de números que incluiría todos los tipos anteriores.
A continuación vamos a ver qué números pertenecen a cada tipo o conjunto y al final del artículo podéis visualizar un diagrama para asimilar la jerarquía entre ellos.
B. CLASIFICACIÓN DE LOS NÚMEROS (TIPOS)
Los Números Naturales «N» son todos los números mayores de cero* (algunos autores incluyen también el 0) que sirven para contar. No pueden tener parte decimal, fraccionaria, ni imaginaria. N= [1, 2 , 3, 4, 5…]
Los Números Enteros «Z» incluye al conjunto de los números naturales, al cero* y a sus opuestos (los números negativos). Es decir: Z = […-2, -1, 0, 1, 2…]
Los Números Racionales «Q» son aquellos que pueden expresarse como una fracción de dos números enteros. Por ejemplo: Q = [¼, ¾, etc.]
Los Números Reales «R» se definen como todos los números que pueden expresarse en una línea continua, por tanto incluye a los conjuntos anteriores y además a los números irracionales como el número «∏» y «e».
Los Números Complejos «C» incluye todos los números anteriores más el número imaginario«i». C = [N, Z, Q, R, I].
C. Esquema de la Clasificación:
2.Propiedades de los Números Reales .
3.Definición de desigualdad.
Relación entre dos expresiones que no son iguales, con frecuencia se escriben con los símbolos >, >, < y <, que significan mayor que, mayor o igual que, menor que, menor o igual que, respectivamente.
Por ejemplo, "4 es mayor que 3" se puede escribir como "4 > 3". Las desigualdades que sólo contienen valores numéricos son verdaderas (como 4 > 3) o falsas (como 1 > 2).
Las desigualdades que también contienen variables, por lo general serán verdaderas para algunos valores de la variable. Resolver una desigualdad para una variable significa encontrar el conjunto solución de una desigualdad equivalente que tenga la forma de x < a, x < a, x > a, o x > a, o las intersecciones o uniones de los conjuntos que tengan estas formas. Una desigualdad se resuelve en mucho de la misma manera que una ecuación.
| 2x - 1 > 9 | desigualdad original | |
| 2x > 10 | propiedad de la suma (sumando 1) | |
| x > 5 | propiedades de la división (dividiendo entre 2) |
Cuando se suma o resta la misma cantidad de ambos lados de una desigualdad verdadera, ésta sigue siendo verdadera. Si se multiplican o dividen ambos miembros de una desigualdad verdadera por la misma cantidad positiva, sigue siendo verdadera. Sin embargo, si su multiplican o dividen ambos lados de una desigualdad verdadera por la misma cantidad negativa, la desigualdad debe invertirse.
4.Propiedades de Desigualdades.
Las siguientes son las propiedades de las desigualdades para los números reales. Están cercanamente relacionadas a las propiedades de igualdad, pero hay diferencias importantes.
Dese cuenta especialmente que cuando multiplica o divide ambos lados de una desigualdad por un número negativo, debe invertir la desigualdad.
| PROPIEDADES DE LAS DESIGUALDADES | |
| Propiedad antireflexiva | Para todos los números reales x, |
| Propiedad de antisimetría | Para todos los números reales x y y, |
| Propiedad transitiva | Para todos los números reales x, y, y z,
si x < y y y < z, entonces x <z. si x > y y y > z, entonces x >z. |
| Propiedad de la suma | Para todos los números reales x, y, y z,
si x < y, entonces x + z < y + z. |
| Propiedad de la resta | Para todos los números reales x, y, y z,
si x < y, entonces x – z < y – z. |
| Propiedad de la multipicación | Para todos los números reales x, y, y z,
si x < y, entonces si x > y, entonces |
| Propiedad de la división | Para todos los números reales x, y, y z, con z ≠ 0,
si x < y, entonces si x > y, entonces |
5. Clasificación de las Desigualdades
** Tengo duda si es lo mismo que las propiedades ** encontraba casi lo mismo.
6. Definición de Función
Al elemento genérico del dominio se lo conoce como variable independiente; al elemento genérico del codominio, como variable dependiente. Esto quiere decir que, en el marco de la función matemática, los elementos del codominio dependen de los elementos del dominio.
Tomemos el caso de un concurso de talentos cuyo jurado está formado por nueve especialistas. Las reglas del certamen establecen que cada integrante del jurado debe elegir como ganador a un participante, sin que exista la posibilidad de votar en blanco ni de escoger a más de uno. En la instancia final del concurso, hay dos finalistas. Con todos estos datos, podemos afirmar que existe una función que podemos llamar “elección”, la cual asigna a cada miembro del jurado el finalista que seleccione. El conjunto inicial o dominio, de este modo, está formado por nueve elementos (cada uno de los jurados), mientras que el conjunto final o codominio presenta dos elementos (los finalistas). La función “elección” hace que a cada uno de los jurados (elementos del dominio) le corresponda un único participante del concurso (elementos del codominio).
Una función matemática es una relación que se establece entre dos conjuntos, a través de la cual a cada elemento del primer conjunto se le asigna un único elemento del segundo conjunto o ninguno. Al conjunto inicial o conjunto de partida también se lo llama dominio; al conjunto final o conjunto de llegada, en tanto, se lo puede denominar codominio.
Por lo tanto, dados un conjunto A y un conjunto B, una función es la asociación que se produce cuando a cada elemento del conjunto A (el dominio) se la asigna un único elemento del conjunto B (el codominio).
Al elemento genérico del dominio se lo conoce como variable independiente; al elemento genérico del codominio, como variable dependiente. Esto quiere decir que, en el marco de la función matemática, los elementos del codominio dependen de los elementos del dominio.
Tomemos el caso de un concurso de talentos cuyo jurado está formado por nueve especialistas. Las reglas del certamen establecen que cada integrante del jurado debe elegir como ganador a un participante, sin que exista la posibilidad de votar en blanco ni de escoger a más de uno. En la instancia final del concurso, hay dos finalistas. Con todos estos datos, podemos afirmar que existe una función que podemos llamar “elección”, la cual asigna a cada miembro del jurado el finalista que seleccione. El conjunto inicial o dominio, de este modo, está formado por nueve elementos (cada uno de los jurados), mientras que el conjunto final o codominio presenta dos elementos (los finalistas). La función “elección” hace que a cada uno de los jurados (elementos del dominio) le corresponda un único participante del concurso (elementos del codominio).
7. Definición de Variable
https://definicion.de/variable/
Derivada del término en latín variabilis, variable es una palabra que representa a aquello que varía o que está sujeto a algún tipo de cambio. Se trata de algo que se caracteriza por ser inestable, inconstante y mudable. En otras palabras, una variable es un símbolo que permite identificar a un elemento no especificado dentro de un determinado grupo. Este conjunto suele ser definido como el conjunto universal de la variable (universo de la variable, en otras ocasiones), y cada pieza incluida en él constituye un valor de la variable.
Por ejemplo: x es una variable del universo {1, 3, 5, 7}. Por lo tanto, x puede ser igual a cualquiera de los recién mencionados valores, con lo cual es posible reemplazar a x por cualquier número impar que sea inferior a 8.
Como podrán advertir, las variables son elementospresentes en fórmulas, proposiciones y algoritmos, las cuales pueden ser sustituidas o pueden adquirir sin dejar de pertenecer a un mismo universo, diversos valores. Cabe mencionar que los valores de una variable pueden enmarcarse dentro de un rango o estar limitados por situaciones de pertenencia.
Puede hablarse de distintos tipos de variable: las variables dependientes, que son aquellas que dependen del valor que se le asigne a otros fenómenos o variables; las variables independientes, cuyos cambios en los valores influyen en los valores de otra; las variables aleatorias son las funciones que asocian un número real a cada elemento de un conjunto E.
En otra clasificación puede decirse que existen variables cualitativas, que expresan distintas cualidades, características o modalidades, y variables cuantitativas, que se enuncian mediante cantidades numéricas, entre otras. Dentro de las variables cualitativas existen las nominales (aquellas que no son númericas y tampoco pueden ser ordenadas, como por ejemplo el estado civil) y las ordinales o cuasicuantitativa (son no-numéricas pero sí permiten ser ordenadas, como la nota de los exámenes). Por su parte, las variables cuantitativas pueden ser discretas (no permite valores intermedios sino números exactos, por ejemplo la cantidad de hermanos de una persona) o continuas (aquellas que aceptan valores intermedios entre dos números, por ejemplo medidas de peso o altura).
En el ámbito de la programación(informática), las variables son estructuras de datos que pueden cambiar de contenido a lo largo de la ejecución de un programa. Estas estructuras corresponden a un área reservada en la memoria principal de la computadora.
A cada variable el programador le asigna una etiqueta que le permite reconocerla del resto, de ese modo siempre que lo necesite podrá llamar a esa variable y acudirá con el valor que le ha sido adjudicado. Por ejemplo, si la variable es de nombre “num” y se almacena con el número 7. Si el programador deseara utilizarla podría programar: num = num + 1 y conseguirá un resultado que precede de dicha variable.
En programación las variables se clasifican de otro modo, existen las de tipo boleano, decimal de coma flotante, arreglo, matriz y aleatorio, entre otros.
Las variables son la base de la programación, responden a un lenguaje y permiten que el programador pueda realizar la labor de forma ordenada y eficiente. La suma de las variables son las que dan como resultado una determinada acción en un programa y ellas siempre responden a los deseos del programador. Esto significa que fuera de un motor o el código de un determinado programa esas variables pueden significar otra cosa y por ende, su suma resultar diversa, porque cada programador puede asignar los valores que desee a cada una de las variables de su código.
Por último, cabe mencionar que, en astronomía, las estrellas variablesson aquellas que experimentan variaciones significativas de luminosidad.
8. Clasificación de funciones.
CLASIFICACIÓN SEGÚN LA VARIABLE X:
En primer lugar clasificaremos las funciones dependiendo del carácter de la variable independiente x en dos tipos: algebraicas y trascendentes.
*Funciones algebraicas: Este tipo de funciones corresponden a ecuaciones polinómicas , donde se pueden efectuar operaciones en las que interviene la variable independiente, como la suma, la resta, la multiplicación, la división, la potencia y la raíz.
Dentro de las funciones algebraicas nos encontramos:
– Funciones constantes: donde la función viene definida por una constante y no interviene la variable independiente: y=f(x)=k
-Funciones lineal: La representación de este tipo de funciones es una recta que pasa por el origen de coordenadas: y=mx+n.
-Función afín: Esta función se trata de un caso general de la anterior, ya que se trata de una recta cualquiera del plano: y= mx
-Función cuadrática: Viene expresada por una función polinómica de segundo grado, como era de esperar, y su representación es una parábola.
-Funciones racionales: Se expresan mediante el cociente de polinomios.
-Funciones radicales: Vienen dadas por la raíz de una expresión polinómica.
-Funciones a trozos: Son funciones definidas por una función distinta en cada intervalo (o trozo) que se considere.
Funciones trascendentes: Cuando la variable independiente, x, forma parte del exponente o da la base de un logaritmo; o simplemente se ve afectada por una función, como puede ser en la trigonometría, entonces hablamos de funciones trascendentes.
Dentro de las funciones trascendentes están:
-Función exponencial: Como su nombre indica es una función en la que la variable independiente se encuentra en el exponente y cuya base es un número real. Por tanto, recibe el nombre de función exponencial de base a y exponente x.
-Función logarítmica: La inversa de la función exponencial recibe el nombre de función logarítmica, por tanto, devuelve el número al que tendríamos que elevar la base a, para obtener nuestra variable independiente. (En este caso la variable independiente nos da el valor de la función exponencial)
-Funciones trigonométricas:Las funciones trigonométricas se obtienen cuando ampliamos el concepto de razones trigonométricas a los números reales. Por lo que hay el mismo número de funciones trigonométricas que de razones trigonométricas: y=senx, y=cosx, y=sec x, etc.
CLASIFICACIÓN SEGÚN LA DEFINICIÓN
Según nos venga dada la definición de la función también podemos establecer una clasificación:
-Función explícita: Cuando podemos obtener los valores de y directamente dando valores a nuestra variable independiente, es decir, cuando la variable y está despejada.
-Función implícita: Cuando, al contrario que en el caso anterior, tenemos que realizar operaciones para halla el valor de la y una vez que le hemos dado un valor a la x: 3x+2y=1