Project:Sandbox

En el siguiente estudio, encontramos una aplicación de matrices, determinantes y del calculo de autovalores y autovectores para determinar las direcciones principales de esfuerzos de las tensiones a que están sometidos los cuerpos El estudio inicial, se realiza de forma infinitesimal y no se ha incluido ya que el resultado final es el que se indica al iniciar el estudio

Teniendo presente que estas acciones pueden ser tridimensionales, o en el plano, he decidido estudiar las aplicaciones en dichos sistemas

Podemos observar cómo la aplicación del ALGEBRA es necesaria para realizar un estudio en la deformación de un cuerpo

Finalmente, se expone un ejemplo en donde se analizan todas las aplicaciones de matrices, sus productos y el estudio de autovalores y autovectores que indican las direcciones en las que el cuerpo trabajaría con menores esfuerzos La materia es de naturaleza discreta, sus propiedades físicas varían de un punto a otro y para un mismo punto varían según las distintas direcciones Hay que saber las propiedades físicas de cada punto y en casa dirección. Ante esto, la física diseña sistemas abstractos que vienen a ser esquemas del comportamiento de un conjunto de cuerpos a las acciones exteriores Como hipótesis simplificada consideraremos que la materia es homogénea, es decir, constituida por puntos materiales en equilibrio estático. Esto nos lleva a dos modelos: solido rígido y solido deformable: Solido rígido: constituido por un conjunto de sistemas materiales en que la distancia entre dos puntos no varia bajo acciones exteriores Solido deformable: es el conjunto de sistemas materiales en el cual la distancia entre los puntos esta en función de las fuerzas exteriores El principio de Canchy: si un medio se encuentra en equilibrio o nulo, las condiciones de equilibrio o movimiento subsisten suponiéndolo solidificado todo o parte de él. Todos los tensores están relacionados entre si mediante una condición de dependencia nominados tensor de esfuerzo

Conocidas la componentes del estado de esfuerzos en un punto, podemos calcular el esfuerzo en cualquier superficie que pase por dicho punto

Para ello, aislamos del cuerpo un elemento de volumen diferencial en forma de tetraedro con vértice en el punto O, con tres caras coincidentes con los planos coordenados y la curta cara ABC, de área dA, definida por los cosenos directores l, m, n de su normal exterior e

Al reducir las dimensiones del tetraedro, manteniéndolo semejante a si mismo, el tetraedro elemental tiende hacia el punto O En el limite, todas sus caras pasan por O y podemos considerar que los esfuerzos sobre las caras del tetraedro elemental son iguales a los esfuerzos en el punto O

Si x, y, z son las componentes del esfuerzo sobre la superficie ABC, de las ecuaciones de la estática    , donde obtenemos: Dividiendo por dA:

Sistema de ecuaciones que equivale a:

Siendo     T=      	Denominado tensor de esfuerzos el  determinante que es simétrico respecto a la diagonal principal

Por tanto, conocidas las componentes del estado de esfuerzos en un punto, y los cosenos directores de la normal a una superficie cualquiera que pasa por dicho punto, se puede calcular el esfuerzo en esa superficie

El esfuerzo normal τ, o componente normal del esfuerzo, se obtendrá a proyectando sobre la normal a la superficie ABC

Sustituyendo en esta ecuación los valores del sistema de ecuaciones y simplificando obtenemos:

Y teniendo en cuenta que 				        que será el valor del esfuerzo cortante

Los estados de tensión plana serán los estados de tensiones cuando una de las tensiones en una dirección es nula

Las componentes intrínsecas del tensor esfuerzo Tenemos el estado de tensiones en el punto O de la figura y deseamos conocer el estado de tensiones del punto según la dirección del plano indicado en dicha figura: Las componentes de la tensión normal las obtendremos proyectando sobre un vector perpendicular a

Si es perpendicular a Signos: El sentido de Ѳ es positivo cuando es contrario a las agujas del reloj El sentido de la tensión normal: + para tracciones - para compresiones Las tensiones tangenciales son positivas cuando tienen el signo de las agujas del reloj

Existe un sistema de ejes coordenados xo, yo, zo respecto a los cuales las componentes de los esfuerzos cortantes, , son nulas. Tales ejes se denominan EJES PRINCIPALES y las superficies perpendiculares a ello son las SUPERFICIES PRINCIPALES

Sobre estas superficies actúan los ESFUERZOS PRINCIPALES cuya magnitudes son respectivamente, iguales a los esfuerzos normales  por ser nulos los esfuerzos cortantes o tangenciales

Al ser los esfuerzos perpendiculares a las superficies sobre las que actúan, se verificara:

es un vector unitario dirigido según la normal a la superficie principal correspondiente. expresa que equivale a:

Pero recordemos que:

Que igualando con la anterior:

Desarrollando dicho determinante tendríamos:

Siendo: Las 3 raíces de la ecuación:, nos determinan las magnitudes de los esfuerzos principales

Sustituyendo los valores y resolviendo el sistema formado por estas ecuaciones y recordando que, hallamos los cosenos directores li, mi, ni correspondientes a la dirección del esfuerzo principal

Teniendo en cuenta que los coeficientes de la ecuación cúbica de ρ son invariantes si alguno de ellos es nulo

Si I3=0, una de las raíces de la ecuación: es cero y el estado de esfuerzos es BIAXIAL o PLANO

Si I2=I3=0, la ecuación:, tiene una raíz doble nula y el estado de esfuerzos es UNIAXIAL

5. TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES EN ESTOS DE TENSION PLANA

Calculamos los autovalores del sistema: Las direcciones principales son los autovectores de las tensiones principales. Cada valor ʎ1, ʎ2 tiene asociado un autovector

Invariantes del estado de tensión:

Como conclusión, adjunto un ejemplo para la aplicación de lo antes explicado para que no queden dudas de su aplicación

En el estado de tensiones de la figura ( kg/cm2), determinar las tensiones normal y tangencial en un plano que contiene al eje OX, y forma un ángulo α con el eje 0X2, tal que. Obtener así mismo las tensiones y ejes principales

Calculamos primero las tensiones normal y tangencial en el plano indicado

Calculamos un vector perpendicular al plano indicado

Este vector, como puede comprobarse es unitario. Tensor de esfuerzos:

Calculo de las tensiones y ejes principales. Calculamos los autovalores y autovectores

Tensiones principales, que son las máximas: Direcciones de los ejes principales

Para La dirección es la de OX3, al no haber en esa dirección Para