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La idea de este trabajo es dar a conocer un poco más la “Lista de Smale” cuyo autor Stephen Smale redactó en el año 2000 con la idea de que fuesen los grandes retos matemáticos para el siglo XXI, así como a los dos matemáticos españoles que resolvieron en el año 2008 el problema 17 de la lista, ellos son: Carlos Beltrán y Luis Miguel Pardo.

Lista de smale Es una lista de 18 problemas formulada por el matemático americano Stephen Smale. Para la realización de esta lista tomó como ejemplo la que cien años antes realizó David Hilbert, de hecho incluye algún problema de este matemático y recopila problemas que ya existían. La idea de realizar esta lista surgió del entonces presidente de la Unión Matemática Internacional, Vladimir Arnold que pidió a diferentes matemáticos una lista actualizada de la de Hilbert. Con esta lista se busca recopilar los mayores retos matemáticos para el siglo XXI. Esta lista está formada por los siguientes problemas: 1. La Hipótesis de Riemann. 2. La Conjetura de Poincaré. 3. ¿P = NP? 4. Ceros enteros de un polinomio. 5. Cotas sobre la altura de curvas diofánticas. 6. Finitud del número de equilibrios relativos en Mecánica Celeste. 7. Distribución de puntos sobre la esfera bidimensional. 8. Introducción de la dinámica en la teoría económica. 9. El problema de programación lineal. 10. El “Closing Lemma”. 11. ¿Son los sistemas dinámicos unidimensionales generalmente hiperbólicos? 12. Centralizadores de difeomorfimos. 13. El decimosexto problema de Hilbert. 14. El atractor de Lorenz. 15. Las ecuaciones de Navier – Stokes. 16. La conjetura del Jacoviano. 17. Resolución de ecuaciones polinómicas. 18. Los límites de la inteligencia. Es en el decimoséptimo problema de esta lista en el que nos vamos a centrar, ya que ha sido resuelto por dos matemáticos españoles: Carlos Beltrán Álvarez y Luis Miguel Pardo Vasallo.

STEPHEN SMALE Es un matemático americano, nacido en Flint, Michigan el 15 de julio de 1930. Entró en el año 1948 en la Universidad de Michigan, sus comienzos fueron brillantes pero en su segundo y tercer año obtuvo unas notas mediocres. Al año siguiente fue aceptado para realizar el postgrado en la misma universidad, en el departamento de matemáticas y sus notas seguían la misma dirección que los dos años anteriores. El jefe de departamento en aquella época, Hildebrandt amenazó a Smale con expulsarlo si sus calificaciones no mejoraban y fue entonces cuando este comenzó a trabajar duro y en 1957 obtuvo su doctorado bajo la supervisión de Raoul Bott. Ha trabajado en varias universidades, fue instructor de la Universidad de Chicago (1956 – 1968), profesor asociado de Matemáticas de la Universidad de California (1960 – 1961), profesor de Matemáticas de la Universidad de Columbia (1961 – 1964), profesor invitado de la Facultad de France, Paris (1962), profesor de Matemáticas de la Universidad de California (1964 – 1994), profesor visitante de la Universidad de Paris, Orsay (1972 – 1973), profesor invitado en la Universidad de Yale (1974), Profesor invitado en la Universidad de Columbia (1987), profesor de Matemáticas (y Economía) emérito de la Universidad de California (1994 - …), profesor Universitario Distinguido, Universidad de la Ciudad de Hong Kong (1995 – 2001), profesor Universitario Distinguido, Universidad de la Ciudad de Hong Kong (2009 – presente). Además ha trabajo en grupos de investigación como el Instituto Miller para la investigación básica en ciencias o en el Instituto Tecnológico de Toyota en Chicago. En lo que se refiere a sus publicaciones, en el año 1958 publicó “La Paradoja de Smale” o la esfera eversión, en la que básicamente nos traslada la idea de que se puede dar la vuelta a una esfera en un espacio tridimensional sin tener que romperla. Se dice que su trabajo más importante lo publicó en el año 1961 y es una prueba realizada a la Conjetura de Poincaré para todo n ≥ 5. Se le conoce también por la Teoría de Morse en matemáticas que pretende a partir del estudio de funciones diferenciables analizar la topología de un colector. En 1998 fue cuando elaboró la lista con los 18 problemas matemáticos que revolucionarían el mundo de las matemáticas en el siglo XXI, aunque su publicación sería en el año 2000. Esta lista es tan importante que se ofrecen cuantiosas sumas de dinero a las personas que encuentren solución a sus problemas. En el año 2007 recibiría su premio más importante, el premio Wolf en Matemáticas que es el equivalente a un premio Nobel, consiste en la entrega de un diploma y 100.000 dólares.

17. resolución de ecuaciones polinómicas En el texto original que publicó Stephen Smale lo que enunciaba sobre el problema era lo siguiente: “¿Se puede encontrar un valor aproximado de un cero de un sistema de n ecuaciones polinómicas complejas con n incógnitas con un algoritmo uniforme que requiera, en media, un tiempo polinomialde ejecución? Este es exactamente el teorema ﬁnal de una serie de cinco artículos escritos con Mike Shub (véase [Shub-Smale, 1994]), pero sin la palabra “uniforme”. Volvamos a las deﬁniciones. Consideremos f : Cn → Cn ; f (z) = ( f1 (z), …, fn (z)), donde z = (z1 , … , zn), donde cada fi es un polinomio en n variables de grado di. Es razonable convertir los fi en polinomios homogéneos añadiendo una nueva variable z0, trabajar en el correspondiente espacio proyectivo y, entonces, traducir el algoritmo y los resultados al problema afín inicial. Se puede definir “aproximadamente” de una manera intrínseca utilizando el método de Newton y esto es necesario en vista de resultados clásicos de Abel, Galois y otros. El tiempo se mide por el número de operaciones aritméticas y de comparaciones, “≤”, utilizando máquinas reales (como en el problema 3),si se quiere ser formal. Hay que dotar al espacio de las f de una medida de probabilidad, para cada d = (d1,... ,dn), y promediar el tiempo del algoritmo sobre el espacio de las f. ¿Existe un algoritmo de este tipo en el que el tiempo de ejecución promediado esté acotado por un polinomio en el número de coeﬁcientes de f, (el tamaño del dato de entrada)? En [Shub-Smale, 1994] se prueba que esto puede hacerse, pero el algoritmo es diferente para cada d, e incluso, para cada probabilidad. Un algoritmo uniforme debe ser independiente de d (d es parte del dato de entrada). La determinación de los ceros de polinomios y de sistemas polinómicos es seguramente uno de los más antiguos e importantes problemas de las Matemáticas. Nuestro problema pregunta si, bajo ciertas condiciones especificadas en el problema, éste puede ser resuelto sistemáticamente por los ordenadores. Si no es posible hacer esto en tiempo polinomial, entonces ningún ordenador podrá tener éxito. Finalmente,, hay un desarrollo reciente que otorga al problema de los ceros de polinomios un papel universal. El Teorema de los Ceros de Hilbert (visto como problema de decisión) es NP-completo sobre cualquier cuerpo (véase el problema 3). Se puede planear un problema similar, pero más difícil, sobre los números reales.” Este problema busca diferentes maneras de resolver los sistemas de ecuaciones polinomiales y poder dar garantías de que los que existen pueden utilizarse y dan solución en un tiempo razonable. La solución de este problema beneficia tanto a la matemática básica como a la aplicada.

Resolución problema 17 La resolución de este problema la comenzaron Sthephen Smale y Michael Shub, que consiguieron demostrar que a partir de un sistema inicial con solución conocida, el proceso se podía realizar de manera rigurosa y se podía deformar la solución hasta obtener otra del sistema final. Pero esta solución solo funcionaba rápida y correctamente cuando el par inicial había sido previamente elegido. Smale en su problema pide que el algoritmo funcione en tiempo polinomial. Años más tarde Luis Miguel Pardo y Carlos Beltrán consiguieron demostrar que al elegir un par inicial al azar se puede comenzar la homotopía (deformar a partir de una solución otra con el mismo resultado) que lleva a la resolución del problema.

Carlos beltrán Es un joven matemático español, licenciado en Matemáticas desde el año 2002 en la Universidad de Cantabria, se doctoró en esta mima universidad en el año 2006. Se dio a conocer con un trabajo conjunto con Luis Miguel Pardo en el que durante tres años trabajaron buscando una solución al problema 17 de la “Lista de Smale” hasta encontrarlo, lo publicaron en el año 2009. Este trabajo le daría el premio Jose Luis Rubio de Francia para jóvenes matemáticos en el año 2010, el principal galardón matemático español que pone como condición que los premiados deben tener menos de 32 años, dicho premio está dotado con 3000 euros. La publicación de una solución a dicho problema causó gran sensación en el mundo de las matemáticas y permitió a Carlos Beltrán una estancia postdoctoral en la Universidad de Toronto con Michael Shub (comenzó junto con el propio Smale la resolución del problema 17). Actualmente trabaja como profesor en la Universidad de Cantabria en calidad de doctor. Su investigación se centra en los “Fundamentos de Matemática Computacional”, parte de la matemática que analiza y evalúa los métodos usados en la programación de ordenadores. El propio Beltrán dice que “La matemática computacional se ocupa, entre otras cosas, de decir que grado de precisión se requiere en los programas” y explica que el fallo en el lanzamiento del cohete Ariane 5 fue producido porque el programa utilizado debería haber utilizado mayor número de decimales. LUIS MIGUEL PARDO Matemático español nacido el 6 de Octubre de 1961, se licenció en Matemáticas en la Universidad de Cantabria el año 1984 y se doctoró en la misma en el año 1987. Comenzó a trabajar como profesor titular en la Universidad de Cantabria en el año 1987 y todavía continua ejerciendo en esta, en estos años ha impartido: Álgebra II, Geometría I, Álgebra I, Topología I y II, Álgebra Lineal II, Álgebra Computacional y más asignaturas todas relacionadas con las matemáticas. Aparte de estas asignaturas de grado también a impartido clases de doctorado y máster. Tiene varios proyectos de investigación propios, desde “Estancia de Investigadores Extrangeros en Régimen de Año Sabático (Giusti, Marc)” fue el primero que realizó, lo hizo en el año 2001 y tuvo una duración de 3 meses, hasta el realizado desde el año 2011 hasta el 2013 “Fundamentos de Matemáticas Computacionales: Adaptabilidad, Condicionamiento, Métodos Numéricos e Ingeniería de Software en Geometría Algebraica Efectiva”. Además a participado en proyectos de investigación junto a Tomás Recio y Joos Heintz. Ha hecho bastantes publicaciones científicas trabajando con diferentes matemáticos, entre ellos: J. Berthomieu, B. Bank, M. Giusti, J. Heintz, L. Lehmann, C. Beltran, J. L. Montaña... Es un matemático de reconocido prestigio que ha dado conferencias por todo el mundo, en Barcelona, Oaxaca, París, Toronto, Budapest, Minneapolis, Buenos Aires...