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Carl Friedrich Gauss es uno de los matemáticos más grandes de la historia, conocido como el príncipe de los matemáticos. Realizó una gran variedad de obras que han tenido una influencia notable en muchos campos de las matemáticas y de la ciencia. Hoy en día, se siguen utilizando por su gran importancia y veracidad.

2. BIOGRAFÍA

Karl Friedrich Gauss nació en Brunswick, actual Alemania, en 1777 y falleció en Gotinga en el año 1855. Fue un matemático, físico y astrónomo alemán nacido en el seno de una familia humilde. Desde muy temprana edad Karl Friedrich Gauss dio muestras de una prodigiosa capacidad para las matemáticas (según la leyenda, a los tres años interrumpió a su padre cuando estaba ocupado en la contabilidad de su negocio para indicarle un error de cálculo), hasta el punto de ser recomendado al duque de Brunswick por sus profesores de la escuela primaria.

El duque le proporcionó asistencia financiera en sus estudios secundarios y universitarios, que efectuó en la Universidad de Gotinga entre 1795 y 1798. Su tesis doctoral (1799) versó sobre el teorema fundamental del álgebra (que establece que toda ecuación algebraica de coeficientes complejos tiene soluciones igualmente complejas), que Gauss demostró.

En 1801 Gauss publicó una obra destinada a influir de forma decisiva en la conformación de la matemática del resto del siglo, y particularmente en el ámbito de la teoría de números, las Disquisiciones aritméticas, entre cuyos numerosos hallazgos cabe destacar: la primera prueba de la ley de la reciprocidad cuadrática; una solución algebraica al problema de cómo determinar si un polígono regular de n lados puede ser construido de manera geométrica (sin resolver desde los tiempos de Euclides); un tratamiento exhaustivo de la teoría de los números congruentes; y numerosos resultados con números y funciones de variable compleja (que volvería a tratar en 1831, describiendo el modo exacto de desarrollar una teoría completa sobre los mismos a partir de sus representaciones en el plano x, y) que marcaron el punto de partida de la moderna teoría de los números algebraicos.

Su fama como matemático creció considerablemente ese mismo año, cuando fue capaz de predecir con exactitud el comportamiento orbital del asteroide Ceres, avistado por primera vez pocos meses antes, para lo cual empleó el método de los mínimos cuadrados, desarrollado por él mismo en 1794 y aún hoy día la base computacional de modernas herramientas de estimación astronómica.

En 1807 aceptó el puesto de profesor de astronomía en el Observatorio de Gotinga, cargo en el que permaneció toda su vida. Dos años más tarde, su primera esposa, con quien había contraído matrimonio en 1805, falleció al dar a luz a su tercer hijo; más tarde se casó en segundas nupcias y tuvo tres hijos más. En esos años Gauss maduró sus ideas sobre geometría no euclidiana, esto es, la construcción de una geometría lógicamente coherente que prescindiera del postulado de Euclides de las paralelas; aunque no publicó sus conclusiones, se adelantó en más de treinta años a los trabajos posteriores de Lobachewski y Bolyai.

3. APORTACIONES

Los trabajos de Gauss son muchísimos y han tenido y tienen una influencia muy grande en la práctica totalidad de las ramas de la Física y las Matemáticas (Teoría de Números, Geometría Diferencial, Astronomía, Estadísticas, Magnetismo, ...).

A los 19 años Gauss halló un método para construir un polígono equilátero de 17 lados con ayuda de regla y compás, e incluso fue más allá, demostrando que sólo ciertos polígonos equiláteros se podían construir con ayuda de regla y compás.

En 1799 Gauss demostró el teorema fundamental del álgebra, que afirma que toda ecuación algebraica tiene una raíz de la forma a+bi donde a y b son números reales, e i es la unidad imaginaria.

También demostró que los números se podían representar mediante puntos en un plano.

El 1801 demostró el teorema fundamental de la aritmética: todo número natural se puede representar como el producto de números primos de una y solamente una forma.

Durante su estancia en el observatorio, construyó un heliotropo, instrumento que reflejaba la luz solar a grandes distancias.

Uno de sus principales descubrimientos fue la campana de gauss

En matemáticas, la campana de Gauss es la representación gráfica de la ecuación matemática a una distribución normal. Tiene forma de campana. .Si se representa en el eje horizontal las medidas obtenidas y en el vertical el número de veces que se obtiene cada valor, obtendremos lo que se llama un histograma de frecuencias. Si se elimina el error sistemático, el conjunto de datos obtenido se distribuye de forma simétrica alrededor de la media, dando una curva en forma de campana.

4. OBRAS MÁS IMPORTANTES

Las contribuciones de Gauss a las matemáticas van desde la más pura teoría de números hasta los problemas prácticos de astronomía, magnetismo y topografía. Realizó grandes aportaciones en todas las ramas de las matemáticas en las que trabajó. Llegó a publicar alrededor de 155 títulos, sin embargo se caracterizó por no presentar los trabajos que no creyera haber pulido hasta la perfección. En este apartado describimos con profundidad sus obras más importantes.

El polígono

Dejando de lado las curiosas anécdotas de su infancia, la primera aportación de Gauss a las matemáticas fue la construcción del polígono regular de 17 lados. Los primeros en tratar el tema, la escuela geométrica ligada a Pitágoras, Eudoxo, Euclides y Arquímedes, impusieron para las construcciones geométricas la condición de que sólo podría utilizarse regla y compás. Gauss no sólo logró la construcción del polígono de 17 lados, también encontró la condición que deben cumplir los polígonos que pueden construirse por este método: El número de sus lados ha de ser potencia de dos o bien, potencia de 2 multiplicada por uno o más números primos impares distintos del tipo llamado números primos de Fermat. Gauss demostró este teorema combinando un razonamiento algebraico con otro geométrico. Esta técnica utilizada para la demostración, se ha convertido en una de las más usadas en matemáticas: trasladar un problema desde un dominio inicial ( la geometría en este caso) a otro (álgebra) y resolverlo en este último.

Las Disquisiciones

En 1801, cuando contaba con 24 años, Gauss publicó su primera gran obra "Disquisitiones Arithmeticae", obra tan importante para la teoría de los números como la obra de Euclides para la geometría. Además de organizar lo ya existente sobre los números enteros, Gauss aportó ideas propias. Fundamentó su teoría a partir de una aritmética de números congruentes que utilizó en la demostración de importantes teoremas, quizás el mas famoso de todos y el favorito de Gauss sea la ley de reciprocidad cuadrática, que Gauss llamó teorema áureo. Con las Disquisitiones, Gauss da una nueva orientación a la Teoría de Números, dejando de ser ésta una acumulación de resultados anecdóticos aislados para convertirse en una rama de las matemáticas tan importante como el análisis o la geometría. En el prefacio, Gauss explica el contenido de esta obra, advirtiendo que tratará sobre los números enteros, excluyendo a menudo los fraccionarios y siempre a los irracionales, los sordos como se les conocía hasta entonces. Su discurso tratará de los aspectos propios de los números enteros de los que se ocupa la Aritmética Superior. En él afirma que en esa época desconocía muchos de los resultados contemporáneos: “desconocía todas las que habían sido elaboradas por los más modernos en este campo y estaba privado de todos los recursos mediante los cuales habría podido ayudarme un poco en estas cuestiones”. Las Disquisitiones están organizadas en siete secciones: 1.      Números congruentes en general 2.      Congruencias de primer grado 3.      Residuos de potencias 4.      Congruencias de segundo grado 5.      Formas y ecuaciones indeterminadas de segundo grado 6.      Aplicaciones de las nociones anteriores 7.      Ecuaciones de las secciones de un círculo. Un gran descubrimiento fueron las congruencias. Dados dos números enteros a y b si su diferencia (a - b ó b - a) es exactamente divisible por el número m, decimos que a, b son congruentes respecto al módulo m, y simbolizamos esto escribiendo a ≡ b (mód m ) Así, 100 ≡ 2 (mód 7), 35 º 2 (mód 11). La ventaja de esta notación es que recuerda la forma en que escribimos las ecuaciones algebraicas, trata la divisibilidad aritmética con una breve notación y permite "sumar, restar, multiplicar… congruencias", con tal de que el módulo sea el mismo en todas, para obtener otras congruencias. Y permite estudiar ecuaciones con congruencias: ax + b  c (mód m) En las dos primeras secciones Gauss aplica estos métodos a problemas históricos como el de dado un número A determinar la cantidad de números primos con A y menores que él. Se trata de la célebre función ϕ(A) introducida por Euler. Dando una fórmula general para su cálculo: Si A = a m b n c p... siendo a, b, c, ... primos,

ϕ(A) = Y termina con la demostración del teorema fundamental de las congruencias polinómicas Una congruencia de grado m, Ax m + Bx m-1 + ... +Mx + N 0 (mod p) Cuyo módulo p es primo que no divide a A, no puede resolverse de más de m maneras diferentes o no puede tener más de m raíces no congruentes con relación a p. En la sección 3 y 4 aborda los residuos cuadráticos y de potencias superiores. Dados r y m números enteros donde r no es divisible por m, si existe un número x tal que x 2 ≡ r (mód m), decimos que r es un residuo cuadrático de m, en caso contrario decimos que r es un no-residuo cuadrático de m. Por ejemplo: 13 es residuo cuadrático de 17, pues la ecuación x 2 ≡ 13 (mód 17) tiene soluciones x = 8, 25, 42 Demuestra el Pequeño Teorema de Fermat: Si p es un número primo que no divide a a, a p -1 – 1 es siempre divisible por p. Y el de Wilson: El producto de todos los números menores que un número primo dado, aumentado en una unidad es siempre divisible por dicho número En la sección 4 Gauss nos proporciona la primera demostración de la ley de reciprocidad cuadrática, a la que denomina Teorema aúreo: Si p es primo de la forma 4n + 1, +p será un residuo o un no-residuo de todo primo que tomado positivamente sea un residuo o un no residuo de p. Si p es de la forma 4n + 3,   -p tiene la misma propiedad. Es decir, existe una reciprocidad entre el par de congruencias x 2 ≡ q (mód p ), x 2 ≡ p (mód q ) en la que tanto p como q son primos; ambas congruencias son posibles o ambas son imposibles, a no ser que tanto p como q den el resto 3 cuando se dividen por cuatro, en cuyo caso una de las congruencias es posible y la otra no.

Gauss contaba con esta demostración desde 1796, a los 19 años. Euler y Legendre lo habían intentado sin éxito como muy bien comenta el propio Gauss. Las secciones 6 y 7 tratan de las formas cuadráticas y sus aplicaciones. Un número entero M puede representarse mediante la expresión ax2 + 2bxy + cy2 = M, donde a, b, c, x e y son números enteros. A la expresión F = ax2 + 2bxy + cy2  Euler la denominó forma cuadrática. Euler ya había utilizado las formas cuadráticas para abordar problemas de números enteros. El problema directo consiste en determinar todos los enteros M que se pueden representar por una forma dada. El inverso, y más interesante, consiste en dados M y a, b y c, encontrar los valores de x e y que representan a M. Para Gauss el objetivo del estudio de formas es demostrar teoremas de teoría de números. Y a lo largo de la sección nos irá proporcionando unas cuantas joyas, algunas de ellas de incalculable valor. Una de ellas le hizo escribir el 16 de julio de 1796, en su diario, una de sus pocas manifestaciones de júbilo EURHKA:   Num = D + D + D

La alegría estaba más que justificada. El joven Gauss acababa de resolver uno de los retos del viejo Fermat. Y no un reto cualquiera; hasta el gran Euler se había estrellado con él. Esta vez Gauss iba a ser el primero en la historia en proporcionar la respuesta a uno de los innumerables enigmas de Fermat: “Todo número entero positivo se puede escribir como suma de tres números triangulares” La demostración de este resultado es una consecuencia del estudio que Gauss realiza de las formas ternarias. En la sección 7 también encontramos las ecuaciones que definen las secciones del círculo ¿Qué tienen que ver las funciones que dependen del círculo con la teoría de números? El joven Gauss no se resiste a la tentación de incluir una sección que contenga su primer resultado estrella, aquel que en bifurcación vital del Collegium le inclinó a decantar su vida por el camino de las matemáticas en detrimento de las lenguas clásicas: la construcción con regla y compás del polígono regular de 17 lados. Aunque en apariencia este resultado tenga más que ver con la geometría o con el análisis que con la aritmética de números enteros. Gauss va a dejar para su último artículo, el 366, un resultado que permite decidir los polígonos regulares construibles con regla y compás: [Para poder seccionar geométricamente el círculo en N partes iguales]... se requiere que N no contenga ningún factor primo impar que no sea de la forma 2m +1, ni tampoco ningún factor primo de la forma 2m +1 más de una vez. De esta forma, se encuentran los 38 valores de N menores que 300: 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272. En aquel verano de 1801 Gauss había entrado en el parnaso de los genios matemáticos. A partir de este momento, Gauss se había convertido en el matemático más grande de Europa. Un nuevo planeta

El descubrimiento del "nuevo planeta", llamado posteriormente Ceres, el primer día del siglo XIX por el astrónomo Giuseppe Piazzi, sedujo enormemente al joven matemático. Era necesario determinar con exactitud la órbita de Ceres para ponerlo de nuevo al alcance los telescopios, Gauss acepto este reto y Ceres fue redescubierto un año después, en el lugar que el había predicho con sus detallados cálculos. Su técnica consistió en demostrar como las variaciones en los datos de origen experimental podían representarse mediante una curva acampanada (hoy conocida como campana de Gauss). También utilizó el método de mínimos cuadrados. Parecido éxito tuvo en la determinación de la órbita del asteroide Pallas, teniendo en cuenta en sus cálculos, las perturbaciones producidas por los otros planetas del sistema solar.

Gauss y la Geodesia

Hacia 1820 Gauss comenzó a trabajar en geodesia (determinación de la forma y tamaño de la tierra), tanto de forma teórica como e forma práctica. En 1821 se le encargo, por parte de los gobiernos de Hannover y Dinamarca, el estudio geodésico de Hannover. A tal fin Gauss ideó el heliotropo, instrumento que refleja la luz del Sol en la dirección especificada, pudiendo alcanzar una distancia de 100 Km y haciendo posible la alineación de los instrumentos topográficos. Trabajando con los datos obtenidos en sus observaciones elaboró una teoría sobre superficies curvas, según la cual, las características de una superficie se pueden conocer midiendo la longitud de las curvas contenidas en ella. A partir de los problemas para determinar una porción de superficie terrestre surgieron problemas más profundos, relativos a todas las superficies alabeadas, terminándose por desarrollar el primer gran periodo de la geometría diferencial.

En el mundo del magnetismo

A partir de 1831 comenzó a trabajar con el físico Wilhelm Weber en la investigación teórica y experimental del magnetismo Ambos inventaron un magnetómetro y organizaron en Europa una red de observaciones para medir las variaciones del campo magnético terrestre. Gauss pudo demostrar el origen del campo estaba en el interior de la tierra. Gauss y Weber trabajaron también con las posibilidades del telégrafo, el suyo, fue probablemente el primero que funcionó de manera práctica, adelantándose en 7 años a la patente de Morse.

Después de su muerte se supo que Gauss había encontrado la doble periodicidad de las funciones elípticas.

Gauss se encuentra entre los primeros en dudar de que la geometría euclídea fuese inherente a la naturaleza humana. El axioma de las paralelas, básico en la geometría euclídea, había sido objeto de estudio a lo largo de siglos, intentándose demostrar a partir de los restantes axiomas de Euclides sin resultado alguno. Algunas de sus anotaciones hacen ver que Gauss pensaba que podría existir una geometría en la que no se verificase el axioma de las paralelas. En 1820, Janos Bolyai, llegó a la conclusión de que la demostración del teorema de las paralelas era imposible y comenzó a utilizar una nueva geometría que no utilizara el axioma de Euclides. Tres años más tarde publicó sus resultados, estos fueron acogidos de manera muy fría por el propio Gauss, señalando que él ya había llegado a esas conclusiones muchos años antes.

La característica principal de la obra de Gauss, especialmente en matemática pura es haber razonado con lo particular como si fuera general.

No se puede dejar sin señalar la aportación de Gauss a la teoría de números complejos. Después de que en el Renacimiento se asignaran a estos números propiedades místicas y descripciones caprichosas, Gauss fue más práctico y los represento geométricamente mediante puntos en el plano, además de aceptarlos y emplearlos como objetos matemáticos puros. En 1811 Gauss demostró el hoy llamado teorema de Cauchy (él no llegó nunca a publicarlo). También elaboró un método para descomponer los números primos en producto de números complejos.

5. CITAS

Las citas más famosas de Friedrich Gauss:

«No es el conocimiento, sino el acto de aprendizaje; y no la posesión, sino el acto de llegar a ella, lo que concede el mayor disfrute».

«Debemos admitir con humildad que, mientras el número es puramente un producto de nuestra mente, el espacio tiene una realidad fuera de ella: por tanto, a priori no podemos describir completamente sus propiedades». Carta a Bessel (1830).[1]

«Ustedes saben que yo escribo lentamente. Esto es principalmente porque nunca estoy satisfecho hasta que os he dicho todo lo posible, en pocas palabras; escribir en forma breve toma mucho más tiempo que escribir largo y tendido."

«... A través de la experimentación sistemática, palpable» [2] En respuesta a la pregunta sobre el modo en que deducía sus teoremas.

«La matemática es la reina de las ciencias y la aritmética es la reina de las matemáticas. Ella a menudo se digna a prestar un servicio a la astronomía y a otras ciencias naturales, pero en todas las relaciones, tiene derecho a la primera fila».

«... y las joyas no se pesan en una báscula de tienda».[3] Comentario sobre la publicación de Dirichlet de que no era prolífico, pero sí profundo.