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El número Áureo, o también llamado el número de oro y representado por la letra griega φ (Phi), en honor al escultor griego Fidias, es un concepto matemático que aparece ligado constantemente a la naturaleza y el arte.

También se representa con la letra griega Τ (Tau), por ser la primera letra de la raiz griega y con la letra griega α (alpha minúscula). Es un número algebraico irracional que posee muchas propiedades y cuyo descubrimiento fue en la antigüedad. Data de la época de la Gracia clásica donde era perfectamente conocido y utilizado en los diseños arquitectónicos (por ejemplo el Partenón) y en obras de arte (como por ejemplo en diseños escultóricos).

La sección áurea es la razón de proporción que cumple la siguiente condición: la parte grande es a la pequeña como el total es a la grande. Ésto en términos matemáticos se representa así: Si φ es igual a  entonces la ecuación queda:

Multiplicando ambos miembros por φ, obtenemos:

Igualamos a cero:

La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:

que es el valor del número áureo, equivalente a la relación. La imagen siguiente muestra una construcción geométrica para obtener un rectángulo cuyos lados estén en proporción áurea (o dos segmentos que lo estén):

La sucesión de Fibonacci es una serie numérica fuertemente relacionada con φ (el número de oro). En Europa fue descrita por primera vez por Leonardo de Pisa (Fibonacci), un matemático italiano del siglo XIII, aunque en la India varios matemáticos la describieron con anterioridad.

La sucesión de Fibonacci se forma, partiendo de un primer término 0 y segundo término 1, a partir de la suma de dos valores inmediatamente anteriores. El resultado es la siguiente sucesión: 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 ... La relación entre un término de la sucesión de Fibonacci y el anterior se aproxima, según se avanza en la serie, a φ: 1 / 0 = ∞ 1 / 1 = 1 2 / 1 = 2 3 / 2 = 1,5 5 / 3 = 1,6666666667... 8 / 5 = 1,6 13 / 8 = 1,625 21 / 13 = 1,6153846154... 34 / 21 = 1,6190476190... 55 / 34 = 1,6176470588... 89 / 55 = 1,6181818182...

La sucesión de Fibonacci, además, permite dibujar con facilidad una espiral, la Espiral de Fibonacci, que es una aproximación a la Espiral Áurea. La Espiral Áurea es un tipo de espiral logarítmica en la que la relación de paso esta en proporción áurea. Este tipo de espiral no se puede dibujar con compás y regla, la aproximación de la Espiral de Fibonacci si:

Es posible componer tomando como base la proporción áurea y a partir de ahi, buscar relaciones que sitúen los objetos en su sitio. Se muestran a continuación dos análisis compositivos de la fachada del Partenon. Ambos análisis se basan en los representados en el “Arquitectura, forma, espacio y orden” de Francis D.K. Ching. Pero han sido redibujados mostrando sólo los elementos que se pueden deducir a partir de los rectángulos áureos (mostrados en naranja) y sus relaciones. De igual forma, sólo se han dibujado los elementos de Partenón que eran deducibles a través del análisis anterior. El número áureo y la sección áurea están presentes en todos los objetos geométricos regulares o semiregulares en los que haya simetría pentagonal, pentágonos o aparezca de alguna manera la raíz cuadrada de cinco. Relaciones entre las partes del pentágono. Relaciones entre las partes del pentágono estrellado, pentagrama. Relaciones entre las partes del decágono. Relaciones entre las partes del dodecaedro y del icosaedro Euclides obtiene el rectángulo áureo AEFD a partir del cuadrado ABCD. El rectángulo BEFC es asimismo áureo. El rectángulo AEFD es áureo porque sus lados AE y AD están en la proporción del número áureo. Euclides en su proposición 2.11 de Los elementos obtiene su construcción.>

Con centro en G se obtiene el punto E, y por lo tanto

resultando evidente que

de donde, finalmente

Por otra parte, los rectángulos AEFD y BEFC son semejantes, de modo que éste último es asimismo un rectángulo áureo.

El Teorema de Ptolomeo y el Pentágono

Se puede calcular el número áureo usando el teorema de Ptolomeo en un pentágono regular. Claudio Ptolomeo desarrolló un teorema conocido como el teorema de Ptolomeo, el cual permite trazar un pentágono regular mediante regla y compás. Aplicando este teorema al cuadrilátero formado al remover uno de los vértices del pentágono, Si las diagonales y la base mayor miden a, y los lados y la base menor miden b, resulta que:

Relación con los sólidos platónicos El número áureo esta relacionado con los sólidos platónicos, en particular con el icosaedro y el dodecaedro, cuyas dimensiones están dadas en términos del número áureo. Los vértices de un icosaedro pueden darse en coordenadas cartesianas por los siguientes puntos: (0,f, 1), (0,f, -1), (0, - f, 1), (0, - f, -1), (1, 0,f), (1, 0, - f), (-1, 0,f), (-1, 0, - f), (f, 1, 0), (f, -1, 0), ( - f, 1, 0), ( - f, -1, 0) Los vértices de un dodecaedro también se pueden dar en términos similares: (0, f,f), (0,f, - f), (0, - f,f), (0, - f, - f), (f, 0,f), (f, 0, - f), ( - f, 0,f), ( - f, 0, - f), (f,f, 0), (f, -Phi, 0), (-phi,f, 0), (-phi, -Phi, 0), (1, 1, 1), (1, 1, -1), (1, -1, 1), (1, -1, -1), (-1, 1, 1), (-1, 1, -1), (-1, -1, 1), (-1, -1, -1)

Las 12 esquinas de los rectángulos coinciden con los centros de las caras de un dodecaedro. Para un dodecaedro con aristas de longitud a, su volumen y su área total se pueden expresar también en términos del número áureo: Si tres rectángulos áureos se solapan paralelamente en sus centros, las 12 esquinas de los rectángulos áureos coinciden exactamente con los vértices de un icosaedro, y con los centros de las caras de un dodecaedro: El punto que los rectángulos tienen en común es el centro tanto del dodecaedro como del icosaedro. La Proporción Áurea fascinó como ideal de belleza a los griegos, a los renacentistas y perdura en nuestros días. Los pintores y escultores del Renacimiento la tuvieron muy en cuenta, y también los impresores. En la naturaleza: Hay muchos elementos relacionados con la sección áurea y, o los números de Fibonacci como por ejemplo: la disposición de los pétalos de las flores, la distribución de las hojas en un tallo, la relación entre las nervaduras de las hojas de los árboles, la relación entre el grosor de las ramas principales y el tronco, la cantidad de espirales de una piña, la cantidad de pétalos de unas flores, la distancia entre el obligo y la planta de los pies de una persona, respecto a su altura total,... En en arte y la arquitectura: En el cuadro Leda atómica, de Salvador Dalí, hecho en colaboración con el matemático rumano Matila Ghyka. En las estructuras y tiempos de las películas "El acorazado Potemkin" e "Iván el Terrible"de Serguéi Eisenstein. En los violines, la ubicación de las efes o eses (los “oídos” u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo.

El número áureo aparece en las relaciones entre altura y ancho de los objetos y personas que aparecen en las obras de Miguel Ángel y Leonardo Da Vinci.

Es necesario desmentir la expandida aseveración de que el número áureo aparece en la conocida representación del Hombre de Vitruvio de Leonardo da Vinci. En este dibujo Leonardo da Vinci sigue estrictamente las proporciones fraccionarias del cuerpo humano que Vitruvio describe en su libro De architectura; concretamente en el Capítulo I del Libro Tercero, “El origen de las medidas del Templo”.