Translations:Download/1/id

Bilangan Irasional
Dalam ilmu matematika, bilangan irasional adalah setiap bilangan real yang tidak dapat dinyatakan sebagai rasio bilangan bulat. Bilangan irasional tidak dapat direpresentasikan sebagai mengakhiri atau mengulangi desimal. Sebagai konsekuensi dari bukti Cantor bahwa bilangan real tidak terhitung dan rationals dihitung, berarti hampir semua bilangan real yang irasional.

Ketika rasio panjang dua segmen garis yang irasional, segmen garis juga digambarkan sebagai orang yang tak dpt dibandingi, berarti mereka berbagi tidak ada ukuran yang sama.

Angka yang tidak rasional termasuk rasio lingkar lingkaran untuk π diameternya, Euler nomor e, rasio φ emas, dan akar kuadrat dari dua, [2] [3] [4] pada kenyataannya semua akar kuadrat dari bilangan tidak menjadi persegi sempurna adalah tidak rasional.

=== Sejarah Yunani Kuno === Bukti pertama keberadaan bilangan irasional biasanya dikaitkan dengan Pythagoras (Hippasus dari Metapontum), mungkin mereka menemukan yang mengidentifikasi sisi sementara pentagram. Kemudian metode Pythagoras saat ini akan menyatakan bahwa harus ada bilangan yang terkecil, Kemudian satuan terpisahkan yang bisa memuat salah satu dari panjang tersebut serta lainnya. Namun, Hippasus, pada abad ke-5 SM, dapat menyimpulkan bahwa sebenarnya tidak ada ukuran satuan umum, dan bahwa penegasan eksistensi seperti itu sebenarnya kontradiksi. Dia melakukan ini dengan menunjukkan bahwa jika miring dari sebuah segitiga sama kaki kanan memang sepadan dengan kaki, maka satuan ukuran harus baik ganjil dan genap, yang tidak mungkin. Alasannya adalah sebagai berikut:


 * Mulailah dengan sebuah segitiga sama kaki dengan panjang sisi bilangan bulat a,b, dan c. Rasio miring kaki diwakili oleh c: b.
 * Asumsikan a, b, dan c dalam istilah terkecil yang mungkin (yaitu mereka tidak memiliki faktor umum).
 * Dengan teori Pythagoras: c2 = a2 + b2 = b2 + b2 = 2b2. (Karena segitiga adalah sama kaki, a = b).
 * Karena dan karena itu bahkan c2 = 2b2, c2 habis dibagi 2.
 * Karena c2, bahkan c harus genap.
 * Karena c dan b tidak memiliki faktor umum, bahkan c dan b harus ganjil (jika b dan c memiliki faktor umum 2).
 * Karena c bahkan, membagi c dengan 2 menghasilkan integer. Biarkan y menjadi bilangan bulat ini (c = 2y).
 * Mengkuadratkan kedua sisi c = hasil 2thn c2 = (2y) 2, atau c2 = 4y2.
 * Mengganti 4y2 untuk c2 dalam persamaan pertama (c2 = 2b2) memberi kita 4y2 = 2b2.
 * Membaginya dengan 2 hasil 2Y2 = b2.
 * Karena y adalah bilangan bulat, dan 2Y2 = b2, b2 habis dibagi 2, dan karena itu bahkan.
 * Karena b2 bahkan, b harus genap.

Namun, kami telah menegaskan bahwa b harus ganjil, dan b tidak dapat menjadi ganjil dan genap. Pertentangan ini membuktikan bahwa c dan b tidak bisa keduanya bilangan bulat, dan dengan demikian keberadaan nomor yang tidak dapat dinyatakan sebagai rasio dari dua bilangan bulat.