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LEONHARD EULER “dejó de calcular y dejó de vivir”               José Gallardo Rojas 1º Ingeniería de la Edificación   2     INDICE    BIOGRAFIA ...............................................3  INTRODUCCION .........................................5  TEOREMA DE LOS POLIEDROS................6  RECTA DE EULER......................................7  TEORIA DE LOS GRAFOS...........................8  LA MARCHA DEL CABALLO ...................9  BIBLIOGRAFIA .........................................10         3  BIOGRAFIA  Leonhard Euler nació en Basilea (Suiza), hijo de Paul Euler, un pastor y de Marguerite Brucker. Poco después de que naciera, su familia se trasladó a Riehen, donde pasó su infancia. A los 13 años se matriculó en la Universidad de Basilea y en 1723 recibió el título de maestro de Filosofía. En esta época Euler estudiaba teología, griego y hebreo. Johann Bernoulli convenció al padre de Euler de que su hijo estaba destinado a ser un gran matemático. En 1726 Euler finalizo su Doctorado con una tesis sobre la propagación del sonido “De Sono”. Euler se traslada a San Petersburgo el 17 de mayo de 1727. Fue ascendido a un puesto en el departamento de matemáticas, donde trabajo con Daniel Bernoulli. El 7 de enero de 1734 Euler contrajo matrimonio con Katharina Gsell. La pareja compró una casa al lado del rio Neva y tuvieron trece hijos, aunque solo de ellos sobrevivieron hasta una edad adulta. Euler partió de San Petersburgo a Berlín porque aceptó un cargo en la Academia de Berlín, este puesto se lo ofreció Federico II el Grande, rey de Prusia. Vivió veinticinco años en Berlín, en donde escribió más de trescientos ochenta artículos, también publicó dos de sus principales obras “Introduction in analysin infinitorum”, texto sobre las funciones matemáticas y “Institutiones calculi differentialis”, texto sobre al cálculo diferencial. También se le ofreció a Euler ser el tutor de la princesa, la sobrina de Federico. Euler escribió más de doscientas cartas dirigidas a la princesa, estas se publicaron en un texto bajo el nombre de “Cartas de Euler sobre distintos temas de Filosofía Natural dirigidas a una Princesa Alemana”, en estas cartas hablaba sobre varios temas de física y matemáticas y dejaba intuir su personalidad y sus creencias religiosas. Euler tuvo que abandonar Berlín, el motivo de este abandono, en parte, fue por un conflicto de personalidad entre Euler y Federico, este llegó a ver a Euler como una persona muy poco sofisticada en comparación con el circulo de filósofos que el rey había logrado reunir en la Academia. Euler tenía limitados conocimientos de retórica y solían debatir cuestiones sobre las que tenían pocos conocimientos, esto le hacía un frecuente objetivo de los ataques del filósofo. Además, Federico también demostró se descontento con las habilidades prácticas de ingeniería de Euler. La vista de Euler fue empeorando a lo largo de su vida. En el año 1735 quedó casi ciego de su ojo derecho, tras sufrir una fiebre casi fatal. Aunque él prefería acusar de su pérdida de visión, al trabajo de cartografía que realizaba para la Academia de San Petersburgo. La vista de ese ojo empeoró a lo largo de su estancia en Alemania, tanto que el propio Federico se refería a él como el Ciclope. Más tarde, Euler sufrió cataratas en su ojo sano, el izquierdo, esto le dejo prácticamente ciego pocas semanas después de su diagnóstico. Aunque esto no hizo mella en su productividad intelectual, ya que lo compensó con su gran capacidad de cálculo mental y su memoria fotográfica. Euler era capaz de repetir la Eneida de Virgilio, 5 INTRODUCCION  Leonhard Euler fue el principal matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes y productivos de todos los tiempos. Realizo importantes descubrimientos en áreas tan diferentes como el cálculo o la teoría de grafos. También introdujo gran parte de la terminología moderna. Se le conoce por sus trabajos en los campos de la mecánica, óptica y astronomía. Leonhard Euler fue uno de los descubridores más productivo de las matemáticas, hasta el punto de que el siglo XVIII se conoce como la época de Euler. Matemático cuyos trabajos más importantes se centraron en el campo de las matemáticas puras, campo de estudio que ayudó a fundar. Además de sus numerosos teoremas en geometría, análisis y teoría de números, a él se debe mucha de la notación actual utilizada, la más notable fue la introducción del concepto de función matemática, fue el primero en escribir f(x) para hacer referencia a la función f aplicada sobre el argumento x, también introdujo los símbolos básicos como, ∏, para representar el numero pi, ∑, para representar las sumas y series y también definió la constante matemática conocida como numero e como aquel número real tal que el valor de la derivada de la función f(x)=ex en el punto x=0 es exactamente 1. 6 TEOREMA DE LOS POLIEDROS  La fórmula de Euler para los poliedros se considera una de las fórmulas más hermosas de la historia de las matemáticas y una de las primeras grandes formulas de la topología (el estudio de las formulas y sus relaciones). En 1751 descubrió que todo poliedro (objeto con caras planas y aristas rectas) convexo de C caras, V vértices y A aristas satisface la ecuación C + V – A = 2. Un poliedro es convexo, si no tiene ni agujeros ni abolladuras, o más formalmente, si cada segmento que conecta puntos interiores está contenido por completo en el interior del objeto. EJEMPLO La superficie de un cubo tiene seis caras, ocho vértices y doce aristas. Si se introducen estos valores en la fórmula de Euler, se obtiene: 6+8-12=2. La superficie de un dodecaedro tiene doce caras, 20 vértices y 30 aristas. Si se introducen estos valores en la fórmula de Euler, se obtiene: 12+20-30=2. Esta fórmula se generalizo más tarde al estudio de redes y grafos, y ayudó a que los matemáticos comprendieran una gran variedad de formas geométricas con agujeros y en dimensiones superiores. La fórmula, además, facilita muchas aplicaciones prácticamente de las que se sirven, por ejemplo, especialistas informáticos o cosmólogos. 7 RECTA DE EULER Euler demostró que en cualquier triangulo, el ortocentro, el circuncentro y el baricentro son colindantes. En los triángulos equiláteros, los cuatro puntos coinciden, pero en cualquier otro triangulo esto no se da, y la recta de Euler está determinada por dos cualquiera de ellos. El centro del circulo de los nueve puntos se encuentran a mitad de camino a lo largo de la línea de Euler entre el ortocentro y el circuncentro, y la distancia desde el centroide del circuncentro es un medio desde el centroide hasta el ortocentro. DEMOSTRACION En un triángulo ABC, se determina, D como el punto medio del lado BC y E como el punto medio del lado CA. Entonces AD y BE son medidas que se intersectan en el baricentro G. Trazando las perpendiculares por D y E se localizan en el circuncentro O. - Se prolonga la recta OG (en dirección a G) hasta un punto P, de modo que PG tenga el doble de longitud de GO. - Al ser G baricentro, divide a las medidas en razón 2:1; es decir: AG=2GD. - Los triángulos AGP y DGO son opuestos por el vértice y por el tanto iguales. Estas dos observaciones permiten concluir que los triángulos AGP y DGO son semejantes. - De la semejanza se concluye que los ángulos PAG y ODG son iguales, y de este modo AP es paralela a OD. Dado que OD es perpendicular a BC, entonces AP también lo será; es decir, AP es la altura del triángulo. 8 LOS PUENTES DE KÖNIGSBERG  “TEORIA DE LOS GRAFOS” La teoría de los grafos es un área de las matemáticas que se interesa por el modo en que se conectan los objetos. Uno de los problemas más antiguos de la de la teoría de los grafos tiene que ver con los siete puentes de la ciudad de Königsberg, en Alemania (ahora parte de Rusia). Los habitantes de esta ciudad se preguntaban si era posible atravesar los siete puentes y volver al punto de partida sin cruzar ninguno de ellos más de una vez. En 1736, el matemático Euler demostró que era imposible encontrar un camino que cumpliera estos requisitos. Euler representó el problema con un grafo, los puntos representaban las zonas de tierra y las líneas, los puentes. Demostró que un grafo así sólo se podía recorrer pasando por cada segmento una sola vez si el grafo tenía menos de tres vértices de valencia impar (la valencia de un vértice es el número de líneas que comienzan o finalizan en él). El grafo de los puentes de Königsberg no presentaba las características apropiadas, de modo que no es posible recorrer el grafo sin cruzar al menos una línea más de una vez, Euler generalizó sus conclusiones a recorridos por cualquier red de puentes. La importancia del problema de los puentes de Königsberg en la historia de las matemáticas se debe a que la solución de Euler se corresponde con el primer teorema de la teoría de grafos. La sencilla representación de Euler, sin tener en cuenta elementos específicos como la longitud de los puentes, se convirtió en precursora de la topología, el campo matemático que estudia las formas y sus relaciones. 9 EL PROBLEMA DE EULER “LA MARCHA DEL CABALLO” Entre los problemas inspirados en el ajedrez, uno de los mas interesantes es el problema de la marcha del caballo, que consiste en recorrer las 64 casillas del tablero de ajedrez con un caballo, en igual numero de movimientos y sin pasar dos veces por la misma casilla. El trabajo mas importante sobre este problema se le atribuye a Leonhard Euler, gracias a los estudios matematicos de este, se establecieron algunas pautas para la resolucion general de este problema. Normalmente no existe restriccion acerca de la casilla inicial y final del recorrido del caballo, sin embargo, la forma mas comun en la vuelta del caballo, es aquella en la cual se puede hacer un salto del caballo desde la casilla final del recorrido hacia la casilla inicial, lo que se conoce como un recorrido cerrado. Las soluciones palnteadas por Euler son principalmente recorridos cerrados y son interesantes no solo por ser mas elegantes que aquellas que no son cerradas, sino porque permiten dar solucion al problema desde cualquier casilla inicial. De las soluciones propuestas por Euler, podemos encontrar algunas pautas que permitan resulver la marcha del caballo en un recorrido cerrado, en primer lugar podemos dividir el tablero en dos mitades imaginarias, dividiendo a su vez cada una de estas en otras dos mitades, ahora iniciando el recorrido del caballo en cualquier casilla de alguna de las dos mitades, preferiblemente en una de las casillas centrales, ha de conseguirse un patron de las casillas recorridas, similar al que se muestra en la imagen. Una vez obtenido este patrón, deberá completarse en el restante sector de la mitad del tablero, este patrón permitirá completar el recorrido por las restantes de la mitad del tablero. La otra mitad del tablero se resuelve trazando en uno de los cuadrantes el patrón que obtuvimos inicialmente, en el siguiente sector podemos trazar el patrón completo y una vez terminado podemos recorrer con el mismo sistema las casillas restantes del tablero, de este modo obtenemos un recorrido completo y cerrado en el cual podemos hacer un salto del caballo desde el punto final del recorrido hacia el punto inicial, lo que permite solucionar el problema comenzando por cualquier casilla.