User:Hgchoi

<추가사항 1>
예제 2) 구간 $$[1, 2]$$에서 방정식 $$g(x)= x^2 -2 = 0$$에 대해 유일한 해의 존재 여부를 고정점 정리로 증명하려 한다.

이를 위해 고정점 정리를 이용하기 위해 주어진 식을 다음과 같이 x =f(x)꼴로 변환하였다 하자.
 * (a) $$x = \frac{2}{x}$$
 * (b) $$x = x -\frac{x^2-2}{2x}$$

(a)와 (b) 각각에 대해 고정점이 존재하는 지 증명하시오. = (증명)
 * (a) $$f(1) =2$$와 $$f(2) = 1$$이 성립하고, $$f'(x) = -2/x^2$$이다. 즉, $$f'(x)<0$$이므로 함수 $$f(x)$$는 주어진 구간에서 감소하고 결국 치역은 정의구역과 일치해야 하는 조건을 만족한다. 그러나 $$f'(1) = -2$$이고 $$f'(2) =-1/2$$이어서 주어진 구간 $$[1, 2]$$의 모든 점에서 $$|f'(x)|<1$$이 성립하는 것이 아니므로 이 함수는 유일한 고정점을 갖지 못할 수 있다.


 * (b) $$f(1) = f(2) = 1.5$$이고 $$ f'(x) = 1/2 - 1/x^2$$이다. 그런데 $$f'(x)$$는 주어진 구간에서 증가함수이고 $$f'(1) = -1/2$$와 $$f'(2) =1/2 $$이다. 따라서 주어진 구간 $$[1, 2]$$의 모든 점에 대해 $$|f'(x)| <1$$이므로 $$f(x)$$는 유일한 고정점을 갖는다. (증명끝)


 * (b)의 식을 가만히 살펴보면 근을 근사치를 구하는데 가장 널리 알려진 Newton의 방법론이 고정점 반복시행과 유사하다는 것을 알 수 있다.

<추가사항 2>
예제) 구간 $$[1, 2]$$에서 방정식 $$g(x)= x^2 -2 = 0$$에 대해 유일한 해의 존재 여부를 고정점 정리로 증명하려 한다. 이를 위해 고정점 정리를 이용하기 위해 주어진 식을 다음과 같이 $$x =f(x)$$꼴로 변환하였다 하자.
 * (a) $$ x = \frac{2}{x}$$
 * (b) $$ x = x -\frac{x^2-2}{2x}$$

(a)와 (b) 각각에 대해 고정점으로의 수렴여부를 판정하시오.

(증명) 고정점의 유일성 증명의 예제를 참고

<추가사항 3>

Image:==== Matlab에서 고정점 반복시행을 통해 고정점을 구하는 절차 ==== (1) 고정점 연산 프로그램 fixpt.m을 file메뉴의 open에서 연다. (2) 고정점 연산의 대상이 되는 함수 f(x)가 지정된 파일 g.m을 연다.
 * 우리는 앞에서 유일한 고정점을 가지는 것으로 판명된 $$y= x -(x^2 - 2)/(2x)$$를 활용한다
 * 단, g.m파일은 다음과 같이 구성된다.

function y = g(x) y = x -(x.^2 - 2) ./(2*x); (3) 다음의 명령을 Matlab의 Command Window에서 실행한다. [x, err,xx] = fixpt('g', 1, 0.00001, 50)

(4) 본문에서 작성한 고정점 반본시행 프로그램을 따라 계산한 근사치의 값의 추이이다. k = 1  p(k) = 1.0000 k = 2  p(k) = 1.5000 k = 3  p(k) = 1.4167 k = 4  p(k) = 1.4142 k = 5  p(k) = 1.4142 결국 p(5)와 p(4)가 허용수준 tol 이내로 들어왔으므로 프로그램은 고정점 p를 1.4142로 계산해 낸 것이다.

다음 그림은 동일한 고정점 반복시행 문제를 MATLAB에서 제공하는 fixpt.m프로그램 예제를 이용해 그래프로 분석한 결과이다. (이 예제는 http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/fixedpoint/FixedPointProg/Links/FixedPointProg_lnk_4.html에서 참고하자.)